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mathebellus
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| Gleichungen |
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Definition des Begriffs |
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Das Waagemodell | |
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Einfache Additions- und Subtraktionsgleichungen |
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Anwendungsaufgaben
mit Hilfe von Gleichungen lösen |
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Definition des Begriffs | |||
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen und einem Gleichheitszeichen besteht, der zwischen die beiden Terme gesetzt worden ist.
Beispiele:
- 26 + 13 = a
ist ein Gleichung.
- 67 < 89
ist keine Gleichung, weil der Ausdruck kein Gleichheitszeichen enthält.
- = a b ist keine Gleichung, weil das Gleichheitszeichen nicht zwischen den beiden Termen steht.
Kommen in einer Gleichung keine Platzhalter für Zahlen vor, so ist sie wahr oder falsch.
Beispiele:
- 13 + 17 = 40 – 10 ist eine wahre Gleichung.
- 1 + 1 = 3 ist eine falsche Gleichung
Kommt in einer Gleichung ein Platzhalter für Zahlen vor, so hängt es von der Zahl ab, die für den Platzhalter eingesetzt wird, ob die Gleichung wahr oder falsch wird.
Beispiele:
- 26 + 13 = a ist eine wahre Gleichung, falls a für die Zahl 39 steht, andernfalls eine falsche Gleichung.
- 21 – |x| = 11 ist eine wahre Gleichung, falls x für die Zahl 10 oder für die Zahl –10 steht, andernfalls eine falsche Gleichung.
Eine Zahl, die beim Ersetzen eines Platzhalters eine Gleichung wahr werden lässt, heißt Lösung der Gleichung.
Beispiele:
- 39 ist eine Lösung der Gleichung 26 + 13 = a .
- 10 und –10 sind Lösungen der Gleichung 21 – |x| = 11 .
Das Auffinden aller Lösungen einer Gleichung, die einen Platzhalter enthält, wird Lösen der Gleichung genannt.
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Das Waagemodell | |||
Sind Gleichungen einfacher Natur, können sie gelöst werden, indem alle ihre Lösung erraten werden.
Beispiel:
Die Gleichung x + 7 = 12 hat offenbar
nur die Lösung 5 .
Sobald die Gleichungen beispielsweise deswegen etwas komplizierter sind, weil sie negative Zahlen enthalten, müssen sie systematisch gelöst werden, wenn Fehler vermieden werden sollen.
Beispiele:
- 33 + x = –87
- x – 19 = – 75
- –98 – x = 85 – 113
| Die übliche Methode, mit der
Gleichungen gelöst werden, ist von der
Handhabung einer Tafelwaage abgeleitet. Die Methode wird im Folgenden an dem Beispiel x + 7 = 12 , dessen Lösung 5 schon bekannt ist, erläutert und dann auf die drei noch ungelösten Gleichungen angewandt. |
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Um die Gleichung x + 7 = 12 zu lösen, stellen wir uns die Gleichung als Waage vor:
- In der linken Waagschale liege eine Box mit unbekanntem Gewicht und sieben Euromünzen.
- In der rechten Waagschale liegen zwölf Euromünzen.
- Entfernen wir von beiden Waagschalen jeweils 7 Münzen, wissen wir, welches Gewicht die Box hat.
Mathematisch wird diese Lösung so aufgeschrieben:
| x + 7 |
= |
12 |
| –7 |
Arbeitsauftrag ankündigen |
| x + 7 – 7 |
= |
12 – 7 |
Arbeitsauftrag ausführen |
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| x |
= |
5 |
Terme vereinfachen |
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Einfache Additons- und Subtraktionsgleichungen | |||
Beispiel 1
| 33 + x |
= |
–87 |
| –33 |
Arbeitsauftrag ankündigen |
| 33 + x – 33 |
= |
–87 – 33 |
Arbeitsauftrag ausführen |
|
| x + 33 – 33 |
= |
–120 |
K+ |
Kommutativgesetz anwenden |
| x |
= |
–120 |
Terme vereinfachen |
Beispiel 2
| x – 19 |
= |
–75 |
| +19 |
Arbeitsauftrag ankündigen |
| x – 19 + 19 |
= |
–75 + 19 |
Arbeitsauftrag ausführen |
|
| x |
= |
–56 |
Terme vereinfachen |
Beispiel 3
| –98 – x |
= |
85 – 113 |
Terme vereinfachen |
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| –98 – x |
= |
–28 |
| +x |
Arbeitsauftrag ankündigen |
| –98 – x + x |
= |
–28 + x |
Arbeitsauftrag ausführen | |
| –98 |
= |
–28 + x |
| +28 |
Terme vereinfachen und Arbeitsauftrag ankündigen |
| –98 + 28 |
= |
–28 + x + 28 |
Arbeitsauftrag ausführen | |
| –70 |
= |
x – 28 + 28 | K+ | Kommutativgesetz anwenden |
| –70 |
= |
x |
Terme vereinfachen |
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Anwendungsaufgaben mit Hilfe von Gleichungen lösen | |||
Viele Anwendungsaufgaben verlieren ihre Schwierigkeit, wenn mit den in ihnen enthaltenen Informationen eine Gleichung formuliert und anschließend gelöst wird.
Beispiel
Berno
fährt von seinem Studienort mit dem Auto zu seinen Eltern.
Bei der Abfahrt befinden sich noch 43 Liter Benzin in dem Tank. Am
Wohnort der Eltern füllt er 5 Liter Benzin aus einem Reservekanister in
den Tank, bevor er zurück fährt. Am Studienort muss er 56 Liter Benzin
tanken, um den Tank, der genau 62 Liter Benzin fasst, wieder komplett
aufzufüllen.
Um herauszufinden, wieviel Benzin Berno auf der Fahrt zu seinen Eltern verbraucht hat, bezeichnen wir diese unbekannte Menge mit einem Platzhalter:
x : Benzinmenge in Litern, die Berno
auf der Fahrt verbraucht hat
Aus dem Aufgabentext ergibt sich folgende Gleichung
43 + 5 – x + 56 = 62
Diese Gleichung lösen wir mit der neu entwickelten Methode:| 43 + 5 – x + 56 | = |
62 |
K+ | Kommutativgesetz anwenden |
| 43 + 5 + 56 –
x |
= |
62 |
Terme vereinfachen | |
| 104 – x | = |
62 |
| +x |
Arbeitsauftrag ankündigen |
| 104 – x + x |
= |
62 + x |
Arbeitsauftrag ausführen | |
| 104 |
= |
62 + x |
| –62 |
Terme vereinfachen und Arbeitsauftrag ankündigen |
| 104 – 62 |
= |
62 + x – 62 |
Arbeitsauftrag ausführen | |
| 42 |
= |
x + 62 – 62 |
K+ | Kommutativgesetz anwenden |
| 42 |
= |
x |
Terme vereinfachen |
Aus der Lösung der Gleichung entnehmen wir, dass Berno auf seiner Besuchsfahrt 42 Liter Benzin verbraucht hat.