mathebellus 5
	Winkel
	Definition
	Bezeichnungsweisen
	Winkelmaß
	Winkeltypen
	Winkel messen
	Winkel antragen
	Anhang: Das griechische Alphabet

	Definition

Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt eingefasst.

• Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels.
• Der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitel des Winkels.

Zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden immer nicht nur einen, sondern gleichzeitig zwei Winkel. Um diese beiden Winkel voneinander begrifflich unterscheiden zu können, wird bei jedem Winkel festgelegt, welcher seiner beiden Schenkel der erste Schenkel und welcher der zweite Schenkel ist.


Die Festlegung wird stets so getroffen, dass der Winkel überstrichen wird, wenn der erste Schenkel um den Scheitel gegen den Uhrzeigersinn auf den zweiten Schenkel gedreht wird.

	Bezeichnungsweisen

Für Winkel gibt es mehrere Bezeichnungsweisen. Es hängt von der Situation ab, welche günstig ist.

1. Bezeichnung eines Winkels mit Hilfe der definierenden Halbgeraden: Der Name des Winkels wird gebildet, indem hinter dem Winkelzeichen ∠ zunächst der 1. Schenkel und dann der 2. Schenkel genannt wird.
2. Bezeichnung eines Winkels mit Hilfe dreier Punkte: Der Name des Winkels wird gebildet, indem hinter dem Winkelzeichen zuerst ein Punkt auf dem 1. Schenkel, dann der Scheitel und zuletzt ein Punkt auf dem zweiten Schenkel genannt wird.
3. Bezeichnung eines Winkels mit Hilfe von Winkelfeldindizes: Sind in die Winkelfelder Indizes eingetragen worden, so wird der Winkelname gebildet, indem auf den Namen des Scheitels ein Winkelzeichen gesetzt und der betreffende Index als Fußnote angehängt wird.
4. Bezeichnung eines Winkels mit Hilfe von griechischen Buchstaben: Sind in die Winkelfelder griechische Buchstabe eingetragen worden, so sind damit die Winkelnamen bereits festgelegt.

	Winkelmaß

Wir können uns zu jeder Strecke eine weitere vorstellen, die länger als die erste ist. Etwas ähnliches ist bei Winkeln nicht möglich, wie das folgende Beispiel (linkes Bild) zeigt, in dem der Winkel so groß ist, dass beide Schenkel übereinander liegen.


Ein solcher Winkel heißt Vollwinkel. Mit seiner Hilfe lässt sich die Maßeinheit für Winkelgrößen erklären. Wir stellen uns vor, dass der Vollwinkel durch 359 Halbgeraden, die auch alle in seinem Scheitel entspringen, in 360 gleich große Teile zerlegt worden ist (rechtes Bild). Nun wird festgelegt, dass jeder dieser Teilwinkel das Winkelmaß 1° (gelesen: ein-Grad) besitzt. Der Vollwinkel besitzt damit das Winkelmaß 360°.

Ein beliebiger Winkel wird nun dadurch gemessen, dass man überprüft, wieviele 1° große Teilwinkel ihn ausfüllen. Dazu muss man notfalls einen dieser Teilwinkel weiter unterteilen, z.B. in zehn  0,1° große Teilwinkel.

Bezeichnungsvereinbarung

• Die Größe eines Winkels wird wie der Winkel selber bezeichnet. Ist der Winkel ∠ASB beispielsweise 42° groß, so schreibt man einfach  ∠ASB = 42° .

In der Regel sind keine Missverständnisse zu befürchten. Es geht wie bei den Strecken eigentlich immer aus dem Zusammenhang hervor, ob die Punktmenge selber oder ihre Größe gemeint ist.

	Winkeltypen

Neben dem Vollwinkel gibt es weitere Winkeltypen. Der Typ wird durch die Größe des Winkels bestimmt.

Ein gestreckter Winkel ist halb so groß wie ein Vollwinkel. Die beiden Schenkel eines Winkels bilden eine Gerade.
Ein rechter Winkel ist halb so groß wie ein gestreckter Winkel. Bilden zwei Halbgeraden einen rechten Winkel, so sagt man, die Halbgeraden sind orthogonal.
Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel.
Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gestreckter Winkel.
Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel, aber kleiner als der Vollwinkel.

	Winkel messen

Wenn wir die Größe eines Winkels messen wollen, verwenden wir das Geo-Dreieck. Die längste Seite des Geo-Dreiecks stellt einen gestreckten Winkel dar, wobei der Mittelpunkt dieser Seite der Scheitel sein soll.


Auf dem Geo-Dreieck befinden sich zwei Winkelmaßskalen. Dreht man im Geiste den 1. Schenkel des Dreiecks auf den 2. Schenkel, dann stellt man fest, dass nur die äußere Skala den richtigen Drehsinn besitzt; sie beginnt nämlich am 1. Schenkel mit 0° und endet am 2. Schenkel mit 180°.
Will man nun einen Winkel messen, so legt man das Geo-Dreieck so an, dass Scheitel auf Scheitel sowie 1. Schenkel auf 1. Schenkel zu liegen kommt und liest den Wert ab, den der 2. Schenkel des Winkels auf der äußeren Skala des Geo-Dreiecks anzeigt.


Offenbar kann man auf diese Weise keine überstumpfen Winkel messen. Wenn aber der zu messende Winkel überstumpf ist, dann kann der Restwinkel höchstens stumpf sein und daher mit dem Geo-Dreieck gemessen werden.


Da beide Winkel zusammen 360° ergeben müssen, misst man den Restwinkel und subtrahiert anschließend sein Winkelmaß von 360°, um das Winkelmaß des zu messenden Winkels zu erhalten.

	Winkel antragen

Wenn ein Winkel mit einer bestimmten Größe gezeichnet werden soll, dann legen wir zunächst den Scheitel fest und zeichnen einen der beiden Schenkel des Winkels als Strahl der von dem Scheitel ausgeht.


Häufig ist durch eine gegebene Halbgerade der Scheitel und ein Schenkel eines zu zeichenden Winkels bereits festgelegt.  Dann muss nur noch der andere Schenkel gezeichnet werden, um den gewünschten Winkel zu erhalten. In diesem Fall spricht man davon, dass an die gegebene Halbgerade ein Winkel angetragen wird.

Bevor man den Winkel anträgt, muss man sich klar machen, ob die gegebene Halbgerade der erste oder der zweite Schenkel des Winkels sein soll.

1. Fall: Die gegebene Halbgerade ist der 1. Schenkel des Winkels.



2. Fall: Die gegebene Halbgerade ist der 2. Schenkel des Winkels.


Möchte man einen überstumpfen Winkel zeichnen, muss man den Restwinkel ausrechnen, der den Winkel zu einem Vollwinkel ergänzt, und diesen so zeichnen wie es oben beschrieben wurde. Allerdings muss man sich darüber im Klaren sein, dass der 1. Schenkel des Restwinkels der 2. Schenkel des überstumpfen Winkels ist.

	Anhang: Die kleinen Buchstaben des griechischen Alphabets

Zeichen	Name	Aussprache	Verslein
α	alpha	a (kurz wie in „alle“)	Alpha, Beta, Gamma, Delta Epsilon, wer kennt euch schon? Zeta, Eta, Theta, Iota, Was hab ich denn bloß davon, Dass ich Kappa und auch Lambda Trotz viel My Ny kennenlern? Ich frag mich, warum mein Mathe- Lehrer hat euch gar so gern. Nach dem Ny , da kommt das Xi, Daraus werde einer schlau. Omikron noch vor dem Pi Rho und Sigma vor dem Tau Ja, das Ypsilon, das kenn ich, Besser als Phi, Chi und Psi Omega am Ende steht, Ach ich fürcht, ich lern das nie!
β	beta	b
γ	gamma	g
δ	delta	d
ε	epsilon	e (kurz wie in „endlich“)
ζ	zeta	s (stimmhaft wie in „sanft“)
η	eta	e (lang wie in „ewig“)
θ	theta	th (behaucht wie in „Theater“)
ι	iota	i (kurz wie in „immer“)
κ	kappa	k (unbehaucht wie in „Lack“)
λ	lambda	l
μ	my	m
ν	ny	n
ξ	xi	x
ο	omikron	o (kurz wie in „oft“)
π	pi	p
ρ	rho	r (gerollt)
σ	sigma	s (stimmlos wie in „Eis“)
τ	tau	t (unbehaucht wie in „satt“)
υ	ypsilon	y (kurzes und langes „ü“)
φ	phi	f
χ	chi	kh (behauchtes „k“ wie in „Orchester“)
ψ	psi	ps
ω	omega	o (langes „o“ wie in „Tor“)