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Subtraktion
natürlicher Zahlen / Negative Zahlen

Begriffe

Pfeildiagramme

Negative Ergebnisse

Positive und negative Zahlen

Betrag einer Zahl

Gegenzahl einer Zahl

Darstellung der Subtraktion als Addition








Begriffe

Das Wort „subtrahieren“ ist aus der lateinischen Sprache entlehnt: „trahere“ bedeutet „ziehen/schleppen“ (Ein „Traktor“ ist ein „Schlepper“); „subtrahere“ bedeutet „wegziehen/abziehen“.

Die Zahl, von der etwas subtrahiert wird, heißt „Minuend“; die Zahl die abgezogen werden soll, heißt „Subtrahend“; das Ergebnis der Subtraktion heißt „Differenz“.

34

18
=
16
Minuend
minus
Subtrahend
gleich
Differenz




Pfeildiagramme

Eine Subtraktion natürlicher Zahlen lässt sich wie eine Addition durch ein Pfeildiagramm veranschaulichen:




Negative Ergebnisse

Ist der Subtrahend größer als der Minuend, ragt der nach links gerichtete Pfeil über die Zahl 0 hinaus. Um auch in diesem Fall ein Subtraktionsergebnis angeben zu können, verwenden wir wie bei einem Thermometer ein Spiegelbild des Zahlenstrahls:



Mit dieser Erweiterung des Zahlenstrahls werden neue Zahlen geschaffen, die sich durch ein Vorzeichen von den bisher bekannten Zahlen unterscheiden.

Das Wort „Strahl“ ist ein mathematischer Fachbegriff; es bezeichnet eine gerade Linie, die von einem Anfangspunkt ausgeht und kein Ende hat.
Mit der vorgenommenen Erweiterung ist der Zahlenstrahl kein Strahl mehr, weil er keinen Anfangspunkt besitzt; er ist zu einer Linie geworden, die in beiden Richtungen endlos ist.
Eine gerade Linie, die keine Endpunkte besitzt, sondern in beiden Richtungen endlos ist, wird in der Mathematik „Gerade“ genannt.
Aus dem Zahlenstrahl ist daher durch die Erweiterung die Zahlengerade geworden.



Positive und negative Zahlen

Die neuen Zahlen, die durch Spiegelung des Zahlenstrahls am Nullpunkt entstehen, heißen negative Zahlen. Zur Kennzeichnung erhalten sie ein Minuszeichen. Das Wort „negativ“ stammt von dem lateinischen Verb „negare“ („verneinen“) ab.

Die alten Zahlen heißen positive Zahlen. Zur besseren Unterscheidung erhalten sie ein Pluszeichen. Dieses Pluszeichen wird jedoch häufig aus Bequemlichkeit weggelassen.

Die Zahl 0 ist einzige Zahl, die weder positiv noch negativ, sondern neutral ist. Die Zahl 0 besitzt kein Vorzeichen.



Die Abbildung zeigt, dass Zahlen nicht nur als „Stellen“ auf der Zahlengerade, sondern auch als „Pfeile“ wiedergegeben werden können.



Betrag einer Zahl

Wird von einer positiven oder einer negativen Zahl das Vorzeichen weggelassen, erhält man eine „alte“ Zahl, die „Betrag“ der positiven oder negativen Zahl genannt wird:
Es ist üblich, mit zwei senkrechten Strichen, die die Zahl einschließen, anzuzeigen, dass ihr Betrag gebildet werden soll:
Die beiden vorangehenden Zeilen werden genauso gelesen wie die beiden weiter oben stehenden.

Weil eine Zahl ohne Vorzeichen auch als Zahl mit dem Vorzeichen + angesehn werden kann, zeigen die beiden Beispiele zeigen:
Werden Zahlen als Stellen auf der Zahlengeraden veranschaulicht, so gibt der Betrag einer Zahl ihren Abstand von der Stelle 0 an:



Werden Zahlen als Pfeile veranschaulicht, so gibt der Betrag einer Zahl die Länge des Pfeiles an:






Gegenzahl einer Zahl

Zu jeder Zahl, die Zahl 0 ausgenommen, gibt es genau eine Zahl, die denselben Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt. Diese Zahl wird Gegenzahl der Zahl genannt.
Weil eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Betrag besitzen, sind die Stellen von Zahl und Gegenzahl auf der Zahlengeraden stets gleich weit von der Stelle 0 entfernt.



Weil eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Betrag besitzen, haben die Pfeile, die Zahl und Gegenzahl veranschaulichen, stets dieselbe Länge.





Darstellung der Subtraktion als Addition

Mit den getroffenen Vereinbarungen können wir die Rechenart „Subtraktion“ vollständig durch die Rechenart „Addition“ ersetzen. Das zeigen die Pfeildiagramme weiter oben:
In beiden Pfeildiagrammen wird die Subtraktion ausgeführt, indem an den Minuenden wie bei einer Addition ein Pfeil angehängt wird. Allerdings gehört der Pfeil zur Gegenzahl des Subtrahenden, weil er in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

Allgemein können wir deswegen sagen: